Магия чисел

Математика традиционно занимает одно из высоких мест в рейтинге самых нелюбимых школьных предметов. Она считается наукой сложной, скучной, да и практическая польза от ее изучения очевидна далеко не всем. Вместе с тем, именно математика наиболее эффективно развивает абстрактное мышление и, таким образом, формирует профессиональный, бытовой и, самое главное, личностный интеллект. Вместе с экспертами, преподавателями Ассоциации Репетиторов Михаилом Гершовичем и Еленой Вячеславовной развенчиваем устаревшие представления о преподавании математики и разбираемся, почему так важно уметь мыслить абстрактно.

До восьмого-девятого класса ребенок может просто пренебрегать уроками математики, но годам к 14-ти он, как правило, уже более-менее представляет, какую профессию ему хотелось бы получить в дальнейшем, а иногда даже определяется с высшим учебным заведением. И если его интересы лежат в сфере гуманитарного знания, возникает резонный вопрос: зачем будущему искусствоведу, журналисту или филологу нужны синусы и косинусы?

  • «Такая постановка вопроса предполагает очевидный ответ – незачем! – говорит Михаил Гершович, преподаватель математики, выпускник факультета прикладной математики МГУ, кандидат технических наук. –Но эта очевидность обманчива. Если немного задуматься, то становится ясно, что изучение математики необходимо по двум причинам. Первая причина – чисто прагматическая. Каждому человеку приходится считать. Прежде всего, считать деньги: в магазине, на рынке, в кафе; многим «искусствоведам» при совершении покупок нужно учитывать несколько разнообразных факторов: цену товара, стоимость доставки, предоставляемые скидки; некоторые «журналисты» берут кредиты в банках или размещают вклады, значит им необходимо иметь простейшие представления о процентах. Этот список можно продолжать и продолжать. Каждому «гуманитарию» так или иначе приходится получать необходимую информацию из графиков и диаграмм; оценивать возможность того или иного события и т.д. Всему этому учит математика, а точнее – ее раздел «Реальная математика», из которого во многом состоит вариант ЕГЭ базового уровня. Вторая причина – образовательная. Трудно назвать образованным математика, который не имеет представления о корифеях отечественной и зарубежной литературы или живописи, не знает об основных событиях отечественной и мировой истории. Точно так же не может быть образованным «гуманитарий», который не знает азов математики».

Допустим, проверить, не обманули ли тебя в ресторане или в магазине, можно и с помощью калькулятора, а рассчитать риски, связанные с взятием кредита в банке, поможет наемный финансовый консультант. Однако наличие общей эрудиции в вопросах математики позволит человеку уверенно принимать участие в интеллектуальных беседах и с удовольствием читать научно-популярную литературу.

Магия чисел

Источник фото

Кроме того, выбор специальности, сделанный в старших классах, редко бывает окончательным – особенно теперь, когда получение второго высшего образования стало практически нормой. Разумеется, литературоведы нечасто пытаются переквалифицироваться в проектировщиков летательных аппаратов, однако существует множество профессий, которые требуют владения математическими методами, хотя так сразу и не скажешь. Например:

  • Занятия психологией и социологией подразумевают использование основанного на математических формулах статистического анализа данных;
  • Врачи-онкологи, составляя план химиотерапии, должны тщательно рассчитать, какой объем препарата необходимо ввести каждому конкретному больному;
  • Историки используют методы математического моделирования для определения стадий развития цивилизации.

Математику также часто связывают с музыкой: структура музыкального произведения опирается, в частности, на числовые зависимости. Впрочем, на этот счет существуют разные мнения.

  • «Многие ученые задумывались о связи музыки и математики, ряд математиков, начиная с Пифагора, делали попытки представить музыку как некую математическую модель, — напоминает Михаил Гершович. – С другой стороны, один известный математик, выросший в семье музыкантов и имеющий огромный интерес к музыке, иронично заметил: «Всегда казалось немного неправдоподобным, что ленивое прослушивание “Маленькой ночной серенады’’ поможет вам заработать дополнительные баллы на завтрашнем тесте по математике».
Магия чисел

Источник фото

В мире абстракций

Как бы то ни было, музыку и математику роднит уже хотя бы то, что музыка – это наиболее абстрактное из искусств, а математика – наука, обладающая самой развитой системой абстракций. Абстрактным принято называть процесс мышления, при котором человек отсекает несущественные стороны и свойства предмета или явления с целью выявить закономерности и произвести теоретическое обобщение.

Звучит – сложно. Если же говорить упрощенно, то абстракция – это образ, отвлеченный от реальности, но связанный с ней тем, что ряд действительных свойств он все же сохраняет. Например, когда первокласснику предлагается посчитать, сколько яблок останется в корзине, если изначально их было пять, а два – съели, имеются в виду не конкретные яблоки: задачка взывает к представлениям ребенка о том, какими бывают яблоки, в целом.

  • «Содержание мыслительной деятельности человека составляют умозаключения, математические элементы, конструкции, законы, понятия, — говорит Елена Вячеславовна, преподаватель математики, выпускница механико-математического факультета МГУ, кандидат физико-математических наук. – Абстрактное мышление способствует видению полной картины, позволяет не фиксироваться на несущественных деталях, дает возможность шагнуть за пределы предписанных норм. Оно помогает схватывать основные закономерности – или предвосхищать новые, а также находить нестандартные решения. Оно повышает адаптационные способности человека к постоянно изменяющимся условиям. За счет развития абстрактного мышления растет эффективность людей и организаций, оно способствует достижению намеченных целей путем понимания принципов работы мозга и умственной деятельности человека на уровне индивидуального и командного развития».

Развитое абстрактное мышление, таким образом, пригодится в жизни любому, а не только философу, готовому часами рассуждать о смысле бытия. Трудно в это поверить, но задача про яблоки – это первая ступень лестницы, на верхней площадке которой мы можем планировать деятельность крупной компании, поскольку к тому времени у нас уже есть представления не только о форме и цвете фруктов, но и о том, как обычно ведут себя люди в той или иной ситуации, какие товары они лучше покупают в определенное время года, какие рекламные стратегии действуют на них более эффективно и т.д.

Даже если должность человека не подразумевает ведения сложных математических подсчетов, образ мышления, привитый на уроках математики, так или иначе применяется в любой деятельности – и не только в профессиональной: чтобы прикинуть, как обставить новую квартиру, тоже нужно уметь мыслить абстрактно.

Врожденное или приобретенное?

Следует также понимать, что, хотя у разных людей абстрактное мышление может быть более или менее развитым, способность к нему, в целом, заложена в человеке по определению. С математическими способностями дело обстоит сложнее. Конечно, почти кого угодно можно научить решать уравнения с одним неизвестным, разбираться в десятичных дробях и строить параболы. Но почему одним это дается легко, а другим приходится неделями корпеть над учебником – вопрос. Существует ли врожденная склонность к математике и свидетельствует ли она автоматически о том, что у ее обладателя – исключительно продуктивно работающее абстрактное мышление?

  • «Есть два аспекта математических способностей: обычные способности к усвоению математических знаний, к их воспроизведению и применению – и творческие математические способности к созданию оригинальных математических результатов, имеющих особую ценность,– считает Елена Вячеславовна. – Творческие способности ученого-математика являются врожденными, благоприятная среда необходима только для их проявления и развития. Учебные же способности – это результат влияния двух факторов: и биологического потенциала, и среды. Математическая одаренность является составным свойством: это общий интеллект плюс способность к математике, склонность заниматься ею. Она подразумевают умение логически выстроить цепь операций, которые приведут к решению. Казалось бы, это должно быть доступно любому способному логически мыслить человеку. Но далеко не каждый может оперировать математическими символами с такой же легкостью, как при решении логических задач».

Когда школьник сдает контрольную работу, в которой есть лишь ответы к задачам, но нет их решения, учитель ставит ему двойку не из вредности и не только потому, что подозревает ученика в том, что он списывал. На самом деле есть немало детей, которые способны решить задачу в уме или даже просто-напросто угадать верный ответ. Однако математические задачи – тот случай, когда цель менее значима, чем средства ее достижения.

Магия чисел

Источник фото

Учителю важно не просто получить правильный ответ на задачу, но и убедиться в том, что ученик пришел к нему логичным путем, разложив решение на ряд последовательных, взаимообусловленных действий. Именно поэтому мы имеем право говорить о том, что математическое мышление тесно связано с мышлением логическим, которое также требует от человека умения оперировать абстрактными категориями. Чтобы решить классическую логическую задачу про волка, козу и капусту на переправе, нужно как минимум иметь обобщенное представление о том, чем питаются животные.

  • «Для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание, — продолжает Елена Вячеславовна. – Людей, способных к математике, отличает умение уловить порядок, в котором должны быть расположены элементы, необходимые для математического доказательства. Наличие интуиции такого рода – основной элемент математического творчества. Одни люди не владеют этим тонким чувством и вниманием и поэтому не способны понимать математику. Другие обладают слабой интуицией, но одарены хорошей памятью и способностью к напряженному вниманию и поэтому могут понимать и применять математику. Третьи владеют тонкой интуицией и даже при отсутствии отличной памяти могут не только применять математику, но и делать математические открытия. Структура математических способностей сложна. Нет единственной ярко выраженной математической способности – это совокупная характеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов: восприятия, мышления, памяти, воображения».

Заучивать – не значит учиться

Небезосновательная уверенность в том, что всем людям природой подарены более-менее одинаковые способности к абстрактному мышлению, а значит – и к математике, порой играет злую шутку с родителями, которые приходят в ярость, когда чадо не может решить элементарный, на их взгляд, пример. И дело тут не только в том, что умение оперировать абстрактными категориями – это навык, который нарабатывается годами, и у ребенка он по вполне естественным причинам развит в меньшей степени, чем у взрослого. Прежде, чем научиться считать в уме, мы тоже в свое время месяцами – если не годами – корпели над столбиками цифр в тетрадках.

Да, математика изобилует формулами, но представление, будто выучив их все, можно стать вторым Пуанкаре, в корне ошибочно. Аксиома Архимеда – это не «жи/ши пиши с буквой “и”», не непреложное и необъяснимое правило, которое нужно зазубрить. Чтобы успешно использовать любую формулу, необходимо, в первую очередь, разобраться, как она работает. Школьникам же, вместо того, чтобы объяснить методику решения примеров и задач, часто предлагается слепо следовать готовым алгоритмам.

Магия чисел

Источник фото

Вполне естественно, что математика в таких условиях часто вызывает у детей отторжение: невозможно увлечься наукой, основ которой ты просто-напросто не понимаешь. Более того, польза от таких занятий в итоге будет минимальной.

  • «Если преподаватель заполнит все время натаскиванием учеников в шаблонных упражнениях, он убьет их интерес, затормозит их умственное развитие, — уверена Елена Вячеславовна. – Но если он будет пробуждать любознательность учащихся, предлагая им задачи, соразмерные их знаниям, и помогать им решать эти задачи, то сможет воспитать в них вкус к самостоятельному мышлению и развить необходимые для этого способности. Наряду с навыками логического мышления, нужно прививать учащимся и навыки эвристического мышления. Продумывать указания в форме советов или в форме наводящих вопросов, с помощью которых преподаватель может привести в действие и направить усилия ученика, затрудняющегося самостоятельно начать или продолжить решение задачи. Математика в процессе создания является экспериментальной наукой. Но этот ее аспект никогда не показывают ученику».

Педагогический подход «вот тебе формула – решай примеры по ней и не задавай лишних вопросов» не формирует интереса к предмету и, более того, дезориентирует, загоняет в пучину непонимания: с одной стороны, ребенку предлагают готовый рецепт успеха, а с другой, он не может им свободно пользоваться, поскольку малейшее изменение в этом рецепте нередко в корне меняет способ его применения – по неизвестным школьнику причинам.

  • «Ученику нужно продемонстрировать, что задача, которую он решает, может быть скромной, — считает Елена Вячеславовна. – Но если она бросает вызов его любознательности и заставляет его быть изобретательным, если он решает ее собственными силами, то он способен испытать ведущее к открытию напряжение ума и насладиться радостью победы. Такие эмоции, пережитые в восприимчивом возрасте, могут пробудить вкус к умственной работе и на всю жизнь оставить свой отпечаток на уме и характере».

Не математикой единой

Польза занятий математикой – очевидна. Но что делать, если ребенок категорически не способен проникнуться красотой этой науки – то ли из чувства протеста, то ли потому, что этот предмет ему искренне неинтересен. Существуют ли другие способы, помимо уже упомянутой практики решения логических задач, развить абстрактное мышление? Да, и их – немало. Они подойдут и взрослым.

  • Шахматы. Чтобы победить в шахматной партии, нужно не только знать, как ходит та или иная фигура, но и уметь мысленно предугадать развитие партии в зависимости от ходов противника, продумать тактику и стратегию – и уметь оперативно вносить в них коррективы.
  •  
  • Философия. Конечно, редкий школьник способен оценить глубину трудов Платона и Канта, а вот предложение порассуждать, что такое добро и зло, откуда взялась Вселенная, существует ли истина в последней инстанции, вполне может прийтись ему по вкусу.
  • Классическая музыка. В отличие от популярной, классическая, инструментальная музыка не направляет аудиторию с помощью очевидных подсказок в виде текстов песен. Задача слушателя – в сплетении звуков угадать настроение, которое имел в виду композитор, понять, какие мысли и чувства обуревали его в процессе создания произведения.
  • Живопись. Вовсе необязательно стремиться вырастить второго Джексона Поллока: абстрактный экспрессионизм – не единственное направление в живописи, которое требует развитого абстрактного мышления. Создавая картину в любом жанре, художник должен заранее прикинуть, как будут расположены фигуры на ней, какое сочетание цветов станет самым удачным и какая кисть создаст искомую структуру мазка.
  • Театр теней. Тень, по сути, представляет собой символическое изображение существа или предмета, вбирая в себя лишь некоторые его свойства. Поэтому в театре теней зрителю неизбежно приходится домысливать образы персонажей, трактовать их жесты в соответствии с собственными представлениями о том, что может означать легкий кивок головы или взмах руки.
  • Компьютерные игры. Так называемые квесты – неисчерпаемый кладезь заданий на абстрактное мышление, тем более интересных, что их решения часто бывают неожиданными и даже абсурдными.

Более того, можно и занятия математикой превратить в подобие игры: например, взять стандартную задачку из учебника и, придумав дополнительные детали, сделать из нее захватывающую детективную историю. Важно только всегда помнить, что основная цель изучения математики – не научиться множить в уме пятизначные числа, а развить способности обобщать, делать выводы, проводить аналогии и, в конце концов, принимать правильные решения – в том числе, жизненно важные.

Источник заглавной картинки

Мудрая сова 11 декабря 2015